Democracia y República son conceptos diferentes que pueden combinarse o no.
República es una forma de la jefatura del Estado con independencia del sistema político. Si hay un Monarca es Monarquía y si hay un Presidente es República. La forma de elección del sistema político dependerá del concepto de Democracia, si es el Pueblo el que elije a sus representantes en votaciones periódicas será Democrático y si no pues será Totalitario, Dictadura o como quieras llamarlo.
Por tanto tienes todas las combinaciones posibles:
1º En sistemas democráticos puedes tener Monarquías Parlamentarias y Repúblicas.
2º En sistemas totalitarios puedes tener también Monarquías y Repúblicas.
En la práctica no existe ningún sistema, en el mundo mundial, que sea realmente democrático porque todos están diseñados para reducir las posibilidades reales de decisión del Pueblo al que se le considera menor de edad o mejor dicho, fácilmente manipulable y que no sabe lo que quiere o le conviene y por tanto incapaz para decidir por si mismo.
Saludos