Respecto a su ubicación legal, yo para aclararme lo comparo mucho con los Colegios Profesionales, pues aunque no son Administración Pública, la ley sí le otorga funciones y facultades que son requisito indispensable para su reconocimiento legal por parte de la AP.
Son una entidad corporativa en cierta medida.
Respecto a la compulsa de un documento, es relativo. Normalmente la administración compulsa documentos que van a ser utilizados ante la misma Administración u organismo que los compulsa. Suele ser aceptada por otros organismos únicamente por el "Imperium" que tiene el sello de la Policía Nacional, pero nada más. No hay obligación legal de aceptarlo así.
Si el Reglamento de vuestra federación expresa que tenéis que exhibir el DNI, lo obligatorio es entonces el DNI. Si os han aceptado copia, es simplemente por buen rollito dicho en términos coloquiales.
Un saludo.