El presupuesto general de aplicación del R44/2001 es que el domicilio del demandado esté en un Estado miembro (además de ser el foro general de competencia judicial). Para el reconocimiento y ejecución el presupuesto general de aplicación es que se trate de una resolución que emane de la jurisdicción de un Estado miembro, aun cuando la competencia del tribunal de origen no se hubiese fundado en los foros de competencia previstos en el mismo Reglamento. Ésto último es lo importante. Imagínate que una sentencia española ha de ejecutarse en cualquier miembro de la UE, como Francia, y el Tribunal español era competente, pero no por el Reglamento, sino yo que sé, porque eran un mexicano y un chino que vivían en Chile y habían decidido someter los litigios del contrato a nuestra competencia, pues da igual, el Reglamento se usará para que reconozcan la sentencia en Francia.
Espero que te haya servido mi respuesta, yo también voy mañana, suerte