El contrato probablemente lo puedas pedir en cualquier oficina del Inem, porque los contratos tienen que estar registrados, y ellos con tus datos pueden ver toda la documentación que tengas.
Tipo de servicios prestados y todo eso, aparece en la hoja de vida laboral, no?? De todas formas, yo que tú iría a Hacienda y a la seguridad Social, entre los dos seguros que reúnes todos los documentos.
Es posible que para la empresa para la que estuviste trabajando no te diese de alta, y por eso te piden ahora todo esto (porque sino Hacienda ya tendría todos estes datos)