Así es Iuris-dav, el escrito de preparación propiamente dicho como constaba antes en la LEC quedó suprimido como señalas. Sin embargo, sigue existiendo de forma figurada. Si lees el art. 479 LEC «El recurso de casación se interpondrá ante el tribunal que haya dictado la resolución que se impugne.....» y el 482 «Presentado...remitirá todos los autos originales al Tribunal competente para conocer del recurso de casación...» continúan existiendo esas dos fases, o filtros: primero el del tribunal que dictó la sentencia recurrida, y segundo, el tribunal competente para conocer del recurso. Por tanto, el hecho de que no exista expresamente el escrito de preparación no implica que no se deba dar traslado de ese escrito de interposición primero, y, una vez que haya superado ese filtro y remitiéndose al tribunal que debe conocer del recurso, igualmente deba notificarse a las partes su admisión.
Es como lo entiendo. Si te lo explican en Alf me informas, vale?

Lo de los dos filtros está claro, ahí no hay dudas.
Primer filtro: El recurso se interpone ante el Secretario a quo, lo admite mediante providencia de ordenación, si cree que no debe ser admitido, pasa al tribunal que puede admitirlo mediante providencia o rechazarlo mediante auto (aquí cabe el recurso de queja). (Art. 479 LEC).
Segundo filtro: Una vez admitido el recurso, se produce la remisión de autos al tribunal ad quem. Este tribunal podrá rechazar el recurso mediante auto (no cabe recurso), debiendo darse un plazo previo a la inadmisión para alegaciones mediante providencia. (Art. 483 LEC).
Por concretar dudas:
1. La LEC solo habla de recurso de interposición, por lo que entiendo que ya no existe el recurso de preparación, cosa que sí viene en los apuntes. La LEC solo habla de un escrito que sería el de interposición.
2. Traslado del recurso a la otra parte. En los apuntes viene que se dará traslado el recurso a la otra parte mediante procurador antes de presentarlo ante el tribunal a quo, y presentando el justificante de este tramite junto con el recurso, aspecto éste último que no vienen en el art. 481 LEC . Sin embargo, en el art. 485 habla que será el Secretario (ad quem) el que dará traslado a la otra parte para que formalice oposición.